નિશ્ચિત સંકલન intlimits_0^{frac{pi }{2}} {fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(nx) - \sin((n-2)x) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. તે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(nx) - \sin((n-2)x) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. તેથી,$\frac{\sin(nx)}{\sin x} - \frac{\sin((n-2)x)}{\sin x} = 2 \cos((n-1)x)$. બંને બાજુ $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ સુધી સંકલન કરતા: $I_n - I_{n-2} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos((n-1)x) dx = \left[ \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$. $n=5$ માટે: $I_5 - I_3 = \left[ \frac{2 \sin(4x)}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\sin(2\pi) - \sin(0)) = 0$. આમ,$I_5 = I_3$. તેવી જ રીતે,$I_3 - I_1 = \left[ \frac{2 \sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = [\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0$. આમ,$I_3 = I_1$. અંતે,$I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$I_5 = I_3 = I_1 = \frac{\pi}{2}$.

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 5x}}{{\sin x}}\,dx} $ નું મૂલ્ય છે

Similar Questions

ધારો કે $g(x) = \int_0^x f(t) dt$,જ્યાં $f$ એવું છે કે $t \in [0, 1]$ માટે $0 \le f(t) \le \frac{1}{2}$ અને $t \in [1, 2]$ માટે $\frac{1}{2} \le f(t) \le 1$ છે. $g(2)$ નો વિસ્તાર શોધો.

ધારો કે $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,જ્યાં $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. તો,

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}$

$\int_{1/e}^{\tan x} \frac{t \, dt}{1 + t^2} + \int_{1/e}^{\cot x} \frac{dt}{t(1 + t^2)}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{1}^{3} (x - 1)(x - 2)(x - 3) \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module